Matriz de Rigidez de un Pórtico en EXCEL

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Introducción general

Este capítulo contiene una introducción general al método matricial de rigidez para el análisis de estructuras. El propósito es ilustrar todos los pasos del método, con la excepción de la rotación de coordenadas, que es explicada en el capítulo siguiente. Para ello, se utilizará una de las estructuras más simples desde el punto de vista mecánico: una cadena de elementos sometidos a tensión axial. Igualmente, se muestra la solución completa del problema por medio del lenguaje MATLAB en un ejemplo concreto.

Formación de las matrices de la estructura

A partir de la ecuación deducida para un elemento en tensión axial examinaremos ahora la formación de una ecuación matricial para la estructura formada por la cadena de elementos mostrada en la figura.

Significado de la matriz de rigidez

Al igual que la constante de rigidez expresada por la ecuación (1.3), los términos de la matriz de rigidez elemental ke como la de la matriz global de la estructura K tienen un significado preciso, a saber:

El término (i, j) de una matriz de rigidez equivale a la fuerza que se debe aplicar en el grado de libertad i cuando el grado de libertad j es objeto de un desplazamiento unitario, mientras los demás grados de libertad permanecen restringidos

(Matriz de Rigidez de un Pórtico en EXCEL)

Formación automática de la matriz de rigidez

La principal ventaja del método de rigidez es que permite la formación automática de las matrices que componen el problema. Dada la definición de una estructura en términos del número total de grados de libertad n y las matrices de rigidez elementales ke, la automatización se hace posible por el hecho de que los elementos de la matrices de rigidez son simplemente fuerzas, como se ilustró en la sección anterior. En consecuencia, la aplicación de la primera ley de Newton a estas fuerzas conduce a un simple proceso de acumulación de la información que aportan los elementos.

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Cálculo de desplazamientos y reacciones

En una estructura estáticamente determinada como la mostrada en la figura 1.4, las reacciones en los apoyos se pueden determinar por medio de las ecuaciones de equilibrio global derivadas de la primera ley de Newton. En este caso, el resultado es R = −P. Sin embargo, en el caso general de estructuras estáticamente indeterminadas, las reacciones son desconocidas. Por eso conviene realizar una partición de las matrices implicadas en ecuación anterior, aislando los grados de libertad asociados a las reacciones, que son normalmente de valor nulo. En el caso presente, el grado de libertad asociado al apoyo es δ1.

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